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一个自称录音师的人
不懂信号流程，不懂效果器，不懂声学基础，问你的几个关于音箱的最基础的知识都回答不了每次都闪烁其词。电平是个会用L3的人都能拉，但能拉到什么样的程度合适怎么个具体拉法那就是技术。用模拟设备拉电平有几十条方法可用，对录音知识了解一点的人都会个十头八种的方法。你那点发烧友的小手段少在这蒙人了，我问你那么个基本的监听的定义问题，你倒是回答啊？回答不出来，你家不是有N多专业书籍么？查去啊？书都被人偷了的话你还有个网啊，GOOGLE啊？答出来不就可以接着冠冕堂皇的蒙人了？何必这么夹着尾巴呢？
还有上次问你的，电子管为什么会好听，为什么不能做监听的问题，论坛里随便学过两天音频知识的人都知道，就你答不上还高谈你的 “监听的最高境界是用电子管放大”理论，你也好意思被人说成这样了还腆着脸接着蒙。本来以为你就是个鬼迷心窍的发烧友，现在看来越来越象个玄学大师，估计不多久后就改在论坛收费帮初学者改善设备提高水平了吧。
不懂信号流程，不懂效果器，不懂声学基础，问你的几个关于音箱的最基础的知识都回答不了每次都闪烁其词。电平是个会用L3的人都能拉，但能拉到什么样的程度合适怎么个具体拉法那就是技术。用模拟设备拉电平有几十条方法可用，对录音知识了解一点的人都会个十头八种的方法。你那点发烧友的小手段少在这蒙人了，我问你那么个基本的监听的定义问题，你倒是回答啊？回答不出来，你家不是有N多专业书籍么？查去啊？书都被人偷了的话你还有个网啊，GOOGLE啊？答出来不就可以接着冠冕堂皇的蒙人了？何必这么夹着尾巴呢？
还有上次问你的，电子管为什么会好听，为什么不能做监听的问题，论坛里随便学过两天音频知识的人都知道，就你答不上还高谈你的 “监听的最高境界是用电子管放大”理论，你也好意思被人说成这样了还腆着脸接着蒙。本来以为你就是个鬼迷心窍的发烧友，现在看来越来越象个玄学大师，估计不多久后就改在论坛收费帮初学者改善设备提高水平了吧。
原帖由 mihu2000 于 2006-5-27 13:21 发表
关于模糊数学的问题这个不是我说的我也是引用一个数学大师的，在这用不对吗？我看很对！
搞音频我是孙子辈，谈数学在音频应用上还真没几个能谈过我的
我随便说个二阶循环群估计你连是什么都没听说过哈
事情不能“你看”着对就对的―
原帖由 mihu2000 于 2006-5-27 13:21 发表
我就说一件事这个论坛的人都会迷糊，我能把某些CD碟的电平提高，频响拉宽，至少是在听觉上是，这个你信吗？
别的我就不再夺说了，反正看你这两句话，大家心里就有低了。
原帖由 mihu2000 于 2006-5-27 13:21 发表
我劝你一句，不要到处卖弄你那点小知识，以耍弄别人为荣，这样不是很好吧？
这句话也不知道给谁听更合适
门子 老师 数学我指定没你厉害，我也是n年前学过一点，
大部分都交回学校了，忘得一干二净，不过既然你提出了这个问题，我得翻翻箱子底看看有没有你说的东西，忽然看到一个有关循环群的，是不是你说的那个我也不知道，所以复印下来给门子老师看看，帮学生我学习学习。
循环群
这一节，我们将介绍两种类型的群： 循环群与变换群。前者构造简明，是最易掌握的一类群，而后者在群论中具有普遍意义。
定义 9.14 若群G中存在一个元素a，使得对于任意g∈G，g均可以表示成a的幂，即
G=｛ak｜k∈I｝，
则称G是一个 循环群 ，记作G=〈a〉。a也称为该循环群的 生成元 。
请看示例： 。
示例 1 群〈I；+〉是一个循环群。整数1和-1都是这个群的生成元。
示例2 设Un表示n次单位根的集合，n是取定的自然数，即Un=｛，k=0，1，…，n-1｝，则Un关于普通乘法作成一个群，令ε=，则有Un=〈ε〉
即：Un是生成元为ε的循环群。
当G=〈a〉是个循环群时，群G的阶和元素a的阶是一致的，由元素阶的特点得到两类循环群：
(1) 当生成元a是无限阶元时，〈a〉是一个无限阶循环群，这时有：
〈a〉=｛ak｜k∈Z；ak≠al，若k≠l｝
(2) 当生成元a是有限阶元时，〈a〉是一个有限阶循环群，若｜a｜=n，则有
〈a〉=｛e，a，…，an-1｝
显然，例1中的群是无限阶循环群；而例2中的n次单位根构成的乘法群是一个n阶循环群。
对于一个循环群G=〈a〉中的生成元的个数，有如下定理。
定理 9.18 设G=〈a〉，那么：
(1) 若G是无限循环群，则G中只有a和a-1两个生成元；
(2) 若G是n阶循环群，则G中有φ(n)个生成元。这里φ(n)是欧拉函数，它表示小于n且与n互素的正整数个数。
请看证明过程： 。
证明
在(1)中，对于G=〈a〉是无限循环群，显然a是一个生成元。另外，因(a-1)-1=a，故任意ak∈G，有ak=(a-1)-k，即ak可以表示成a-1的-k次幂，于是a-1也是G的一个生成元。设b∈〈a〉是G中另一生成元，现设b=am，由b是G的生成元，那么对a∈G=〈b〉，必有整数t，使得a=bt=(am)t=amt。于是，有amt-1=e。由于a是无限阶元，从而得到mt-1=0，即mt=1，显然m只能取+1和-1，这就表明b只可能是a或a-1。由此，证明了〈a〉中只有两个生成元a和a-1。
在(2)中，若G=〈a〉是n阶循环群，G=｛e，a，…，an-1｝，由欧拉函数的定义只要证明：
对于任意ar∈G，(其中0≤r≤n-1)，ar为G的生成元的充要条件是r与n互素，即(r，n)=1。
必要性： 若ar是G的一个生成元，设(r，n)=d，这时应有非零整数t满足r=dt。?因为：
(ar)n/d=(adt)n/d=atn=(an)t=et=e
所以，由定理7.6的结论(1)知： ar的阶是 n/d
的因子。由于ar是G的生成元。故ar的阶｜ar｜=n，由此推出n是n/d的因子，因此必有d=1，则(r，n)=1。
充分性： 若(r，n)=1，则存在整数u，v，?使得
ur+vn=1
于是 a=aur+vn?=aur·avn?=(ar)u(an)v=(ar)u·ev=(ar)u
由于G中的生成元a可表示成ar的方幂，即a=(ar)u，所以对任意ak∈G，有ak=(ar)ku。于是ar是G的一个生成元。证毕。
请看示例： 。
示例 3
对于12阶循环群〈a〉=｛e，a，a2，…，a1｝，小于12且与12互素的数是1，5，7，11。所以，φ(12)=4，G中全部生成元是a，a5，a7，a11。
在循环群〈a〉中任取一个元素ak，由ak可生成〈a〉的一个子群。显然〈ak〉是一个循环群，对于循环群的子群，我们有下述定理。
定理 9.19 设G=〈a〉是一个循环群，则有：
(1) G的子群都是循环群。若G是无限阶循环群，则G的子群都是无限阶循环群(单位子群｛e｝除外)。
(2) 若G是n阶循环群，H是G的真子群，则H的阶是n的因子。对于n的每个因子d，G有且只有一个d阶子群。
请看证明过程： 。
证明
设H是循环群G=〈a〉的任一个子群，由于G是循环群，则H中的元素均可以表示成a的方幂。若H是单位子群｛e｝，则H是一阶循环群。若H不是单位子群，则H中一定存在一个指数为最小的元素am，我们需证明H=〈am〉。设任意al∈H，则存在整数q和非负整数r，使得：
l=qm+r (0≤r≤m-1)
于是 ar=al-qm=al(am)-q
而 al，(am)-q均属于H，H又是子群，所以
ar=al(am)-q?∈H
若r≠0，则因为0≤r≤m-1，而am是G中最小元素，所以必有r=0，即
al=(am)q∈〈am〉
由此知H是〈am〉的子群，而显然也有〈am〉是H的子群，所以H=〈am〉。因此，循环群的子群仍是循环群。
当G是无限循环群时，设H是G的一个非单位子群，由前述结论知H是循环群，设am是H的一个生成元，显然am是个无限阶元。若不然，设am是n阶元，n是正整数。则(am)n=e，即amn=e，这与a是无限阶元的条件矛盾。由于H的生成元am是无限阶元，于是H是一个无限阶循环群。
因为 (am)d=amd=e
于是，由定理7.6的结论(1)知，n是md的因子，于是n/d是m的因子，若设m=nl/d，(l是整数)，从而得到：
am=anl/d=(an/d)l∈H?
由于H1的生成元包含在H中，所以有H1H。又由于H与H1有相同的阶，从而H1=H，即〈a〉中的d阶子群只有一个。证毕。
请看示例： 。
示例 4
仍以12阶循环群〈a〉=｛e，a，a2，…，a11｝为例。因为12的全部的正因子为1，2，3，4，6和12，所以，〈a〉共有6个子群，它们的阶分别为1，2，3，4，6和12，其中：
1 阶子群为H1=〈e〉；
2 阶子群为H2=〈a6〉；
3 阶子群为H3=〈a4〉；
4 阶子群为H4=〈a3〉；
6 阶子群为H5=〈a2〉；
12阶子群为H6=〈a〉。
在例1和例2中，我们介绍了两个循环群〈I；+〉与〈Un；·〉，前者是无限阶的循环群，后者是有限阶的循环群，它们可作为循环群的代表，即有如下定理。
定理 9.20 设G是循环群，生成元为g，即G=〈g〉，则有：
(1) 若g的周期为无限，则G与〈I；+〉同构；
(2) 若g的周期为n，则G与〈Un；·〉同构。
请看证明过程： 。
证明 在(1)中，设g的周期为无限，则对于任意整数m，只要m≠0，就有gm≠e，这时我们有： 由m1≠m2可推出gm1≠gm2。
令f: G→I，使得f(gk)=k。对任一x∈G，有x=gk，f(x)=k∈I，即f(x)由x唯一确定，所以f是G到I的一个映射。
任取?x，y∈G，x≠y，则x=gm1，y=gm2，m1≠m2，从而f(x)≠f(y)，所以f是由G到I?的内射。
任取?k∈I，有x=gk∈G，且f(x)=k，所以f是满射。
设?x，y∈G，则x＝gm1，y=gm2，因此xy=gm1+m2，f(xy)=m1+m2=f(x)+f(y)，所以f?也是同态映射。
由此可知，f是G到I的同构映射，所以〈G；*〉与〈I；+〉?同构。
在(2)中，设g的周期为n，则g0=e，g1，g2，…，gn-1是G中n个不同的元素。下面我们证明G中只有这n个不同的元素。这是因为：
任取m∈I，m＞n，存在q，r，使得m=nq+r，0≤r＜n，从而gm=gnq+r=(an)q·gr=gr。
令f： G→Un，f(gk)=(k=0，1，…，n-1)，则f是G到Un的双射，且f(gk·gl)=
f(gk+l)=e2(k+l)πi/n=e2kπi/n · e2lπi/n
=f(gk)·f(gl)，即f是G到Un的同构映射。所以G与Un同构。证毕。
由此定理知，循环群在同构的意义下，只有两个，即〈I；+〉与〈Un；·〉，其它任何一个循环群，或与〈I；+〉同构，或与〈Un；·?〉同构。
循环群
这一节，我们将介绍两种类型的群： 循环群与变换群。前者构造简明，是最易掌握的一类群，而后者在群论中具有普遍意义。
定义 9.14 若群G中存在一个元素a，使得对于任意g∈G，g均可以表示成a的幂，即
G=｛ak｜k∈I｝，
则称G是一个 循环群 ，记作G=〈a〉。a也称为该循环群的 生成元 。
请看示例： 。
示例 1 群〈I；+〉是一个循环群。整数1和-1都是这个群的生成元。
示例2 设Un表示n次单位根的集合，n是取定的自然数，即Un=｛，k=0，1，…，n-1｝，则Un关于普通乘法作成一个群，令ε=，则有Un=〈ε〉
即：Un是生成元为ε的循环群。
当G=〈a〉是个循环群时，群G的阶和元素a的阶是一致的，由元素阶的特点得到两类循环群：
(1) 当生成元a是无限阶元时，〈a〉是一个无限阶循环群，这时有：
〈a〉=｛ak｜k∈Z；ak≠al，若k≠l｝
(2) 当生成元a是有限阶元时，〈a〉是一个有限阶循环群，若｜a｜=n，则有
〈a〉=｛e，a，…，an-1｝
显然，例1中的群是无限阶循环群；而例2中的n次单位根构成的乘法群是一个n阶循环群。
对于一个循环群G=〈a〉中的生成元的个数，有如下定理。
定理 9.18 设G=〈a〉，那么：
(1) 若G是无限循环群，则G中只有a和a-1两个生成元；
(2) 若G是n阶循环群，则G中有φ(n)个生成元。这里φ(n)是欧拉函数，它表示小于n且与n互素的正整数个数。
请看证明过程： 。
证明
在(1)中，对于G=〈a〉是无限循环群，显然a是一个生成元。另外，因(a-1)-1=a，故任意ak∈G，有ak=(a-1)-k，即ak可以表示成a-1的-k次幂，于是a-1也是G的一个生成元。设b∈〈a〉是G中另一生成元，现设b=am，由b是G的生成元，那么对a∈G=〈b〉，必有整数t，使得a=bt=(am)t=amt。于是，有amt-1=e。由于a是无限阶元，从而得到mt-1=0，即mt=1，显然m只能取+1和-1，这就表明b只可能是a或a-1。由此，证明了〈a〉中只有两个生成元a和a-1。
在(2)中，若G=〈a〉是n阶循环群，G=｛e，a，…，an-1｝，由欧拉函数的定义只要证明：
对于任意ar∈G，(其中0≤r≤n-1)，ar为G的生成元的充要条件是r与n互素，即(r，n)=1。
必要性： 若ar是G的一个生成元，设(r，n)=d，这时应有非零整数t满足r=dt。?因为：
(ar)n/d=(adt)n/d=atn=(an)t=et=e
所以，由定理7.6的结论(1)知： ar的阶是 n/d
的因子。由于ar是G的生成元。故ar的阶｜ar｜=n，由此推出n是n/d的因子，因此必有d=1，则(r，n)=1。
充分性： 若(r，n)=1，则存在整数u，v，?使得
ur+vn=1
于是 a=aur+vn?=aur·avn?=(ar)u(an)v=(ar)u·ev=(ar)u
由于G中的生成元a可表示成ar的方幂，即a=(ar)u，所以对任意ak∈G，有ak=(ar)ku。于是ar是G的一个生成元。证毕。
请看示例： 。
示例 3
对于12阶循环群〈a〉=｛e，a，a2，…，a1｝，小于12且与12互素的数是1，5，7，11。所以，φ(12)=4，G中全部生成元是a，a5，a7，a11。
在循环群〈a〉中任取一个元素ak，由ak可生成〈a〉的一个子群。显然〈ak〉是一个循环群，对于循环群的子群，我们有下述定理。
定理 9.19 设G=〈a〉是一个循环群，则有：
(1) G的子群都是循环群。若G是无限阶循环群，则G的子群都是无限阶循环群(单位子群｛e｝除外)。
(2) 若G是n阶循环群，H是G的真子群，则H的阶是n的因子。对于n的每个因子d，G有且只有一个d阶子群。
请看证明过程： 。
证明
设H是循环群G=〈a〉的任一个子群，由于G是循环群，则H中的元素均可以表示成a的方幂。若H是单位子群｛e｝，则H是一阶循环群。若H不是单位子群，则H中一定存在一个指数为最小的元素am，我们需证明H=〈am〉。设任意al∈H，则存在整数q和非负整数r，使得：
l=qm+r (0≤r≤m-1)
于是 ar=al-qm=al(am)-q
而 al，(am)-q均属于H，H又是子群，所以
ar=al(am)-q?∈H
若r≠0，则因为0≤r≤m-1，而am是G中最小元素，所以必有r=0，即
al=(am)q∈〈am〉
由此知H是〈am〉的子群，而显然也有〈am〉是H的子群，所以H=〈am〉。因此，循环群的子群仍是循环群。
当G是无限循环群时，设H是G的一个非单位子群，由前述结论知H是循环群，设am是H的一个生成元，显然am是个无限阶元。若不然，设am是n阶元，n是正整数。则(am)n=e，即amn=e，这与a是无限阶元的条件矛盾。由于H的生成元am是无限阶元，于是H是一个无限阶循环群。
因为 (am)d=amd=e
于是，由定理7.6的结论(1)知，n是md的因子，于是n/d是m的因子，若设m=nl/d，(l是整数)，从而得到：
am=anl/d=(an/d)l∈H?
由于H1的生成元包含在H中，所以有H1H。又由于H与H1有相同的阶，从而H1=H，即〈a〉中的d阶子群只有一个。证毕。
请看示例： 。
示例 4
仍以12阶循环群〈a〉=｛e，a，a2，…，a11｝为例。因为12的全部的正因子为1，2，3，4，6和12，所以，〈a〉共有6个子群，它们的阶分别为1，2，3，4，6和12，其中：
1 阶子群为H1=〈e〉；
2 阶子群为H2=〈a6〉；
3 阶子群为H3=〈a4〉；
4 阶子群为H4=〈a3〉；
6 阶子群为H5=〈a2〉；
12阶子群为H6=〈a〉。
在例1和例2中，我们介绍了两个循环群〈I；+〉与〈Un；·〉，前者是无限阶的循环群，后者是有限阶的循环群，它们可作为循环群的代表，即有如下定理。
定理 9.20 设G是循环群，生成元为g，即G=〈g〉，则有：
(1) 若g的周期为无限，则G与〈I；+〉同构；
(2) 若g的周期为n，则G与〈Un；·〉同构。
请看证明过程： 。
证明 在(1)中，设g的周期为无限，则对于任意整数m，只要m≠0，就有gm≠e，这时我们有： 由m1≠m2可推出gm1≠gm2。
令f: G→I，使得f(gk)=k。对任一x∈G，有x=gk，f(x)=k∈I，即f(x)由x唯一确定，所以f是G到I的一个映射。
任取?x，y∈G，x≠y，则x=gm1，y=gm2，m1≠m2，从而f(x)≠f(y)，所以f是由G到I?的内射。
任取?k∈I，有x=gk∈G，且f(x)=k，所以f是满射。
设?x，y∈G，则x＝gm1，y=gm2，因此xy=gm1+m2，f(xy)=m1+m2=f(x)+f(y)，所以f?也是同态映射。
由此可知，f是G到I的同构映射，所以〈G；*〉与〈I；+〉?同构。
在(2)中，设g的周期为n，则g0=e，g1，g2，…，gn-1是G中n个不同的元素。下面我们证明G中只有这n个不同的元素。这是因为：
任取m∈I，m＞n，存在q，r，使得m=nq+r，0≤r＜n，从而gm=gnq+r=(an)q·gr=gr。
令f： G→Un，f(gk)=(k=0，1，…，n-1)，则f是G到Un的双射，且f(gk·gl)=
f(gk+l)=e2(k+l)πi/n=e2kπi/n · e2lπi/n
=f(gk)·f(gl)，即f是G到Un的同构映射。所以G与Un同构。证毕。
由此定理知，循环群在同构的意义下，只有两个，即〈I；+〉与〈Un；·〉，其它任何一个循环群，或与〈I；+〉同构，或与〈Un；·?〉同构。